確率論入門

2009年6月13日 (土)

5 期待値

まず、次の問題について考えてみよう。
コインを1回投げて、表が出れば100円もらえて裏が出れば1円ももらえないという賭けがある。この賭けを1回行うのに参加料を何円か払う必要があるとき、参加費が何円なら有利でも不利でもない公平な賭けになるだろうか。

この問題の答えが50円になるのは分かると思う。1/2の確率で50円得して、1/2の確率で50円損するので、これはバランスが取れているといえる。

これは簡単なケースだが、もっと複雑なケースの場合はどのように計算すればよいのだろうか。
今度は次の問題について考えてみよう。

さいころを1回投げて、1~3の目が出れば(確率1/2)300円もらえて、4、5の目が出れば(確率1/3)600円もらえて、6の目が出れば(確率1/6)900円もらえるという賭けがある。
この賭けを1回行うのに参加料を何円か払う必要があるとき、参加料が何円なら有利でも不利でもない公平な賭けになるだろうか。

このような問題は賭けの回数をどんどん増やしていけば考えやすい。
賭けの回数をどんどん増やしていくと、大数の法則より、1~3の目によってもらえる金額は、賭けの回数×1/2×300円に近づいていく。同じ様に、4、5の目によってもらえる金額は、(賭けの回数)×1/3×600円に、6の目によってもらえる金額は、賭けの回数×1/6×900円に近づいていく。
よって、もらえる金額の総計は、賭けの回数×(300×1/2+600×1/3+900×1/6)円に近づいていく。したがって、もらえる金額の平均(=もらえる金額の総計÷賭けの回数)は、300×1/2+600×1/3+900×1/6=500(円)に近づいていくことになる。
これは、求める参加料が500円であることを示している。

本当に近づくのか試してみる。
この賭けを2000回行い、行った回数が50回、100回、500回、1000回、2000回に到達した時点で、それぞれの金額になった回数、それによる金額の総計と金額の平均を調べた。その結果をまとめたのが次の表とグラフである。

50回 100回 500回 1000回 2000回
300円の回数 20 44 244 505 1013
600円の回数 21 37 170 341 650
900円の回数 9 19 86 154 337
金額の合計 26,700 52,500 252,600 494,700 997,200
金額の平均 534.0 525.0 505.2 494.7 498.6

 

Matomek

確かに回数を多くすれば多くするほど金額の平均が500円に近づいていっている。

ここまでの話は、期待値という用語を使って次のように一般化できる。

試行の結果によってある変数の値が決まるとき、次の数をその変数の期待値という。
期待値=∑(変数の値×その値になる確率)
〔ここで、∑は( )の中をすべての場合について合計することを表している。〕

このとき、試行回数を増やせば増やすほど、変数の平均(=変数の総計÷試行回数)は期待値に近づいていく。

これを先ほどのさいころの賭けの例で置き換えると、

もらえる金額は、さいころの出た目によって300円、600円、900円の3つの値をとり、その期待値は次のようになる。

期待値=∑(金額×その金額になる確率)=300×1/2+600×1/3+900×1/6=500(円)

よって、賭けの回数を増やせば増やすほど、もらえる金額の平均(=金額の総計/賭けの回数)は、500円に近づいていく。

となる。

ここで、例題を出してみよう。
(例題)AさんとBさんがあるゲームで賭けをした。ルールは、先に4勝した方が相手から200円もらえるというものだった。しかし、Aさんの3勝2敗となった時点で勝負を中断して清算しなくてはいけなくなった。
このとき、お金の受け渡しはどのようにするのが公平か。ただし、2人の技量は互角で、勝ち負けは同様に確からしいとする。
(解答)Aさんからみると、200円払う(すなわち、-200円もらう)のはこの後2連敗するときのみであり、その確率は、積の法則から、1/4(=1/2×1/2)である。それ以外のときには、200円もらうことになり、その確率は、3/4(=1-1/4)である。
よって、Aさんがもらう金額の期待値は、

(-200)×1/4+200×3/4=(-50)+150=100(円)

となる。したがって、BさんがAさんに100円払えばよいことが分かる。

以上のように、期待値はギャンブルを確率論で考察するときには重要な概念である。

4 情報と確率(ベイズの定理)

今回は、情報によって確率がどのように変わるかを説明しようと思う。

例として、次の問題について考えてみる。
「ある国では,男性が1000人に1人の確率である病気に感染している。ある検査薬を使えば、感染していれば0.98の確率で陽性反応が出て、感染していなければ0.01の確率で陽性反応が出る。このとき、1人の男性に陽性反応が出たとして、この男性が感染している確率はどれくらいか。」
つまり、感染している確率は本来1/1000であるが、「検査薬で陽性反応が出た。」という情報によって、その確率はどのように変わるかという話である。答えが1/1000より大きくなることが予想されるが,具体的にどれくらい大きくなるのだろうか。

ここで、この国の10万人の男子が検査を受けると仮定しよう。
このとき,感染していてかつ陽性反応が出る男子は、積の法則を使って、10万×0.001×0.98=98より、98人と予想できる。また、感染していなくてかつ陽性反応が出る男子は、同じ様に積の法則を使って、10万×0.999×0.01=999より、999人と予想できる。
よって,「感染していてかつ陽性反応が出た男子」の人数の「陽性反応が出た男子全員」の人数に対する割合は、98÷(98+999)=0.0893…≒0.089となる。求める確率はこれと等しく,約0.089である。

以上の話を一般化したのが、次のベイズの定理と呼ばれる定理である。


ベイズの定理

k個のことがらE1、E2、……、Ekがあって、このうちのどの2つも同時に起こることはなく、k個のうちのどれか1つが必ず起こるとする。 このとき、ことがらEに対して,

(Eが起こったときEiが起こる確率)=
(Eiが起こる確率)×(Eiが起こったときEが起こる確率)/∑j{(Ejが起こる確率)×(Ejが起こったときEが起こる確率)}
〔ここで、分母の∑jはj=1からj=kまで{ }の中を合計することを表している。〕

が成り立つ。


分かりにくいかもしれないので,この定理に先ほどの感染症の例をあてはめてみると,

2個のことがら(感染している)、(感染していない)があり,この2つは同時に起こることはなく,2つのうちどちらか1つは必ず起こる。
このとき,ことがら(陽性反応が出る)に対して,
陽性反応が出たとき感染している確率は,
分子が,

(感染している確率)×(感染していたとき陽性反応が出る確率)

で,分母が,

(感染している確率)×(感染していたとき陽性反応が出る確率)+(感染していない確率)×(感染していなかったとき陽性反応が出る確率)

の分数になる。
つまり,0.001×0.98/(0.001×0.98+0.999×0.01)=0.00098/0.01097≒0.089

となる。

この公式の意味は次のようになる。
分子の(Eiが起こる確率)×(Eiが起こったときEが起こる確率)は,積の法則そのままの形で,EiとEが両方起こる確率を表している。
また,分母の∑j{(Ejが起こる確率)×(Ejが起こったときEが起こる確率)}は,Eが起こる確率を表している。分かりにくいかもしれないが,

(感染している確率)×(感染していたとき陽性反応が出る確率)+(感染していない確率)×(感染していなかったとき陽性反応が出る確率)

と具体的なことがらに置き換えてみれば,これが陽性反応が出る確率を表しているのが分かると思う。
つまり,この式は,(EiとEが両方起こる確率)/ (Eが起こる確率)を表していて,これは,Eが起こった回数1回あたりさらにEiが何回起こるかを表している。これは,Eが起こったときのEiが起こる確率に他ならない。
または単純に,

積の法則:(EとEiが両方起こる確率)=(Eが起こる確率)×(Eが起こったときEiが起こる確率)

を変形しても,

(Eが起こったときEiが起こる確率)=(EとEiが両方起こる確率)/(Eが起こる確率)

を導くことができる。

ここで例題を出してみる。
(例題)3つのコインA,B,Cがある。Aは表裏とも白である。Bは表が白で裏が黒である。Cは表裏とも黒である。これらのコインからランダムに1つ選んで投げたところ,黒の面が上になった。このとき,投げたコインがBである確率はどれくらいか。
(解答)(1/3×1)÷(1/3×0+1/3×1+1/3×1/2)=1/3÷1/2=2/3

今度は麻雀の話を例にとろう。
他家が染め手っぽい捨て牌のとき本当に染め手である確率はどれくらいだろうか。ただし,他家が染め手を狙う確率を0.15,染め手のとき捨て牌が染め手っぽくなる確率を0.8,染め手でないとき捨て牌が染め手っぽくなる確率を0.1とする。
答えは,
0.15×0.8/(0.15×0.8+0.9×0.1)=0.12/(0.12+0.09)=0.12/0.21=0.571…≒0.57
より,約57%となる。これは,染め手の確率が捨て牌の情報によって15%から57%に上がったということである。
(ここで使った0.15や0.8という数字は仮のものであって厳密なものではない。よって,57%という結果も信用できるものではないが,ここでは,情報によって確率が変化するという雰囲気をつかんでほしい。)

※ ベイズの定理については,「モンティ・ホール問題」という有名な問題がある。なかなか面白い問題なので,興味がある人は検索してほしい。

3 積の法則

まず,次の問題について考えてみよう。
大小2つのさいころを同時に投げる。このとき、大きいさいころの目が偶数になる確率と小さいさいころの目が3の倍数になる確率は、それぞれ1/2と1/3である。それでは、この2つのことがらが同時に起こる確率はどれくらいになるだろうか。

試行回数が十分に多いときは、大きいさいころの目が偶数になる回数は、試行回数×1/2(回)前後になると予想できる。ということは、これと同時に小さいさいころの目が3の倍数になる回数は、(試行回数×1/2)×1/3=試行回数×1/6(回)前後になると予想できるということである。(例えば、試行回数が60000回のときは、大きいさいころの目が偶数になる回数は、60000×1/2=30000(回)前後になり、さらに小さいさいころの目が3の倍数になるのは、30000×1/3=10000(回)前後になる。)
これは、求める確率が1/6であることを意味する。

確率では次のような積の法則と呼ばれる法則(※)が成り立つ。

 

積の法則(※)

ことがらA、Bが両方起こる確率は、

  Aが起こる確率×Bが起こる確率

と等しい。

この積の法則について、例をもう1つあげて考察してみよう。
5本中2本が当たりのくじがあり、これを兄が先に1本引き、それをもどさずに弟が残りの4本から1本引く。このとき、弟が当たりを引く確率はどれくらいになるだろうか。

このケースでは、兄が当たりを引いたときと引かなかったときで,弟が当たりを引く確率が違ってくるので注意が必要である。求める確率は、(兄が当たりを引いて、さらに弟も当たりを引く確率)と(兄がはずれを引いて、さらに弟が当たりを引く確率)の和になる。
まずは、(兄が当たりを引いて、さらに弟も当たりを引く確率)を求めよう。
兄が当たりを引く確率は、当たりが5本中2本だから2/5である。また、兄が当たりを引いたときの、弟が当たりを引く確率は、当たりが4本中1本だから1/4である。よって、ここで求める確率は、2/5×1/4=1/10である。
次に、(兄がはずれを引いて、さらに弟が当たりを引く確率)を求めよう。
兄がはずれを引く確率は、はずれが5本中3本だから3/5である。また、兄がはずれを引いたときの、弟が当たりを引く確率は、当たりが4本中2本だから2/4=1/2である。よって、ここで求める確率は、3/5×1/2=3/10である。
よって、求める弟が当たりを引く確率は、1/10+3/10=4/10=2/5となる。
(これは兄が当たりを引く確率と同じになる。このことから、くじ引きは、引く順番によって有利不利が発生しないことが分かる。)

実は、上にあげた積の法則(※)は厳密な表現ではない。ことがらAが起こったか起こらなかったかで、ことがらBが起こる確率が変わることもあるからである。正しくは、次のように書かれるべきである。(ちなみに、ことがらAが起こったか起こらなかったかで、ことがらBが起こる確率が変わらないことを、ことがらAとBは独立であるという。)

 

積の法則(改変版)

一般に、ことがらA、Bが両方起こる確率は、

  Aが起こる確率×Aが起こったときBが起こる確率

と等しい。

特に、Aが起こったか起こらなかったかで、Bが起こる確率が変わらない(=AとBが独立である)とき、この確率は、

  Aが起こる確率×Bが起こる確率  

と等しい。

もう1つ具体的な例をあげておこう。1が1/6の確率で出るさいころがある。

最初に、このさいころを2回振ったときについて考える。
まず、1が0回出る確率は1以外の目が2回出る確率と考えて、

5/6×5/6=25/36

次に、1が1回出る確率は、

(1回目に1が出る確率)×(2回目に1以外の目が出る確率) +(1回目に1以外の目が出る確率)×(2回目に1が出る確率)

だから、

1/6×5/6+5/6×1/6=5/36+5/36=5/18

さらに、1が2回出る確率は、

1/6×1/6=1/36

今度は3回投げたときについて考える。
まず,1が0回出る確率は,

5/6×5/6×5/6=125/216

次に,1が1回出る確率は、

(2回目までに1が1回出る確率)×(3回目に1以外が出る確率)+(2回目までに1が0回出る確率)×(3回目に1が出る確率)

だから、

5/18×5/6+25/36×1/6=50/216+25/216=25/72

残りの1が2回出る確率,3回出る確率は,同じ様に計算してそれぞれ,5/72,1/216となる。

● 麻雀と確率に関するよくある誤解

麻雀と確率に関するよくある誤解に、麻雀の手牌の種類は膨大であるため、確率論は適用できないというものがある。それが間違いであることを説明する。
ここで、6つの面のうち1つの面に1が書かれているさいころAと、6万個の面のうち1万個の面に1が書かれているさいころB(仮想のさいころである。実際には正六万面体は存在しない。)を考える。さいころA、B両方とも1が出る確率は1/6で同じである。
上で、さいころを2回、3回投げたときに1が出る確率について計算したが、この計算をするときに使ったのは、1が出る確率1/6だけであり、面の数(6や6万)は一切出てこなかったことを確認してほしい。さいころの目の出方の確率分布は、さいころAもBで等しくなる。例えば、3回投げたときに1が1回でる確率は、さいころAもBも25/72である。
同じ様なことがさいころを投げる回数を増やしたときにもいえる。例えば,さいころを18回投げたときに1が4回出る確率やさいころを1000回投げたときに1が160回でる確率などがさいころAとBで等しくなるということである。
よって,さいころを600回投げたときに1が出る回数が595回以上605回以下になる確率や6万回投げたときに1が出る回数が59500回以上60500回以下になる確率などもさいころAとBで等しくなる。したがって、確率の収束のし方は、面の数が少なくても多くても変わらないことになる。

2 計算で求める確率

下図左の図1のような対称の形をしたコインを投げるとき、表が出る確率を考えてみよう。

Coin

考察により、これに関して次の2点が分かる。

・ 表が出る確率と裏が出る確率をたすと1になる。

(これは投げたときに必ず表が出るか裏が出るかのどちらかになることから明らかである。)

・ 表が出る確率と裏が出る確率は等しい。

(上図右の図2のような非対称の形をしたコインであればどちらかの面の方が出やすくなるが、今回の場合には、表が出やすくなる理由も裏が出やすくなる理由もないので、確率は等しくなるはずである。)

上の2点から、表が出る確率は1/2(=0.5)であることが分かる。

本当に確率が1/2になるのか実験で試してみよう。
このコインを1000回投げて,投げた回数が50回、100回,500回,1000回に到達した時点で,表が出た回数,表が出た回数の全回数に対する割合(=表が出た回数÷全回数)を調べた。その結果をまとめたのが次の表とグラフである。

50回 100回 500回 1000回
表が出た回数 18 45 229 491
表が出た割合 0.360 0.450 0.458 0.491

Matome2

確かに回数を多くしていけば回数の割合が0.5に近づいていっている。よって,確率は1/2であることがいえる。

同じように考えて、さいころを投げたとき1の目が出る確率は1/6となる。また、偶数の目が出る確率は、偶数になる目の出方が2、4、6の3通りあるので、1/6×3=1/2となる。

このように、起こりうる結果の起こる確率がすべて等しい(これを同様に確からしいという)とき、確率は次の計算で求めることができる。

あることがらAが起こる確率=ことがらAが起こる結果の数/すべての結果の数

確率が計算で求められるケースには、今あげたもの以外にも次のような例がある。

・じゃんけんでグーを出したときに負けない確率。

相手が出す手はグー、チョキ、パーの3通り考えられるが、このうち負けないのはグーとチョキの2通りだから、求める確率は2/3となる。

・当たりが3本、はずれが4本入っているくじを引くときに当たりを引く確率。

当たりは全7本中3本あるのだから、求める確率は3/7となる。

ここで注意しなければいけないのは、すべての結果の起こる確率が等しい(同様に確からしい)といえないときには、このような計算はできないということである。例えば、明日地球に隕石が降ってくる確率を、起こる結果が「降ってくる」「降ってこない」の2通りだからといって、1/2とするのは間違いである。

このような,同様に確からしいといえないために確率が計算で求められないケースには、次のような例がある。

・上の図2のコインを投げたとき表が出る確率

求める確率は1/2より大きくなる。

・Aさんと弟と兄が徒競走をしたとき,Aさんがトップになる確率

3人の足の速さが同じとは限らないので,求める確率を1/3とするわけにはいかない。

また,十円玉を同時に2枚投げるときに、表裏の出方は、表が2枚、表と裏が1枚ずつ、裏が2枚の3通りあるが、だからといって、表と裏が1枚ずつ出る確率を1/3とするのは、有名な間違いである。正しく考えるときには、(表、表)、(表、裏)、(裏、表)、(裏、裏)の4つの場合で計算する。この4つの場合はすべて同様に確からしいといえるので、正しい確率は、2/4=1/2である。

1 確率と大数の法則

ここに1つの画鋲がある。これを投げて床に落としたときに、針が上になることはどれく らい起こりやすいか調べてみよう。

画鋲を5000回投げて、投げた回数が50回、100回、500回、1000回、2000回、3000回、4000 回、5000回に到達した時点で、針が上になったケースの回数とその回数の割合(=上にな った回数÷画鋲を投げた総回数)を調べる実験を3度行った。その結果をまとめると、次 のような表とグラフになった。

50回 100回 500回 1000回 2000回 3000回 4000回 5000回
1度目の回数 27 59 286 600 1210 1832 2449 3081
1度目の割合 0.540 0.590 0.572 0.600 0.605 0.611 0.612 0.616
2度目の回数 29 63 304 644 1242 1884 2503 3127
2度目の割合 0.580 0.630 0.608 0.644 0.621 0.628 0.626 0.625
3度目の回数 34 67 311 612 1230 1849 2481 3105
3度目の割合 0.680 0.670 0.622 0.612 0.615 0.616 0.620 0.621

Matome_4

グラフをみれば、上になった回数の割合は、投げた回数が少ないときにはバラバラの値を とるが、投げる回数を増やしていくと、だんだん0.62に近づいていくのが分かる。

このことを、「針が上になる確率は0.62である。」と表現する。(ここ で、0.62という数字は、有効数字2桁程度のおよその値である。より精密な値を知るには 、実験回数を増やす必要がある。)

これが確率という言葉の定義であるが、この定義は次のような大数の法則 と呼ばれる法則に言い換えることができる。


大数の法則

ある試行においてことがらAが起こる確率がaであるとき、Aが起こった割合(=Aが起こ った回数÷試行回数)は、試行回数を増やしていけばいくほどaに近づいていく。

ここで、確率と大数の法則のもう1つの例をあげてみよう。
次の表は、平成9年から 平成16年までの、日本での全出生数と男子出生数と、男子出生数の割合(=男子出生数÷ 全出生数)を表したものである。

平成9年 10年 11年 12年 13年 14年 15年 16年
総出生数(人) 1,191,665 1,203,147 1,177,669 1,190,547 1,170,662 1,153,855 1,123,610 1,110,721
男子出生数(人) 610,905 617,414 604,769 612,148 600,918 592,840 576,736 569,559
割合 0.5126 0.5132 0.5135 0.5142 0.5133 0.5138 0.5133 0.5128

男子出生数の割合が、大数の法則が示す通り毎年一定の値(約0.513)になっている。

●大数の法則に対する誤解について

大数の法則について、ある誤解がされていることがある。 たとえば、0.4の確率を起こることがらAがあり、10回の試行を行ったところAが7回と平 均より多く起こったとする。このとき、起こった割合が0.4に近づくのだから以降の試行で は起こる確率が0.4より小さくなるはずだという誤解である。 これは間違いである。これまでに起こったAの回数が少なかろうが多かろうがAが起こる 確率は0.4で一定である。

Aが10回の試行で7回起こったあと、90回の試行で平均通りの36(=90×0.4)回起こった とすると、合計で100回の試行のうち43回起こったことになる。起こった割合は、43÷100 =0.43より、0.43である。さらに、以降の900回の試行で平均通りの360回起こったとする と、合計で1000回の試行のうち403回起こったことになり、起こった割合は、403÷1000= 0.403より、0.403である。さらに、同じように以下の試行でAが平均通りの回数起こると すると、総計10000回、100000回、…で、Aは4003回、40003回、…ずつ起こることになり 、その割合は、0.4003、.0.40003、…と確かに0.4に近づいていくことになる。

 

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