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2009年6月13日 (土)

2 計算で求める確率

下図左の図1のような対称の形をしたコインを投げるとき、表が出る確率を考えてみよう。

Coin

考察により、これに関して次の2点が分かる。

・ 表が出る確率と裏が出る確率をたすと1になる。

(これは投げたときに必ず表が出るか裏が出るかのどちらかになることから明らかである。)

・ 表が出る確率と裏が出る確率は等しい。

(上図右の図2のような非対称の形をしたコインであればどちらかの面の方が出やすくなるが、今回の場合には、表が出やすくなる理由も裏が出やすくなる理由もないので、確率は等しくなるはずである。)

上の2点から、表が出る確率は1/2(=0.5)であることが分かる。

本当に確率が1/2になるのか実験で試してみよう。
このコインを1000回投げて,投げた回数が50回、100回,500回,1000回に到達した時点で,表が出た回数,表が出た回数の全回数に対する割合(=表が出た回数÷全回数)を調べた。その結果をまとめたのが次の表とグラフである。

50回 100回 500回 1000回
表が出た回数 18 45 229 491
表が出た割合 0.360 0.450 0.458 0.491

Matome2

確かに回数を多くしていけば回数の割合が0.5に近づいていっている。よって,確率は1/2であることがいえる。

同じように考えて、さいころを投げたとき1の目が出る確率は1/6となる。また、偶数の目が出る確率は、偶数になる目の出方が2、4、6の3通りあるので、1/6×3=1/2となる。

このように、起こりうる結果の起こる確率がすべて等しい(これを同様に確からしいという)とき、確率は次の計算で求めることができる。

あることがらAが起こる確率=ことがらAが起こる結果の数/すべての結果の数

確率が計算で求められるケースには、今あげたもの以外にも次のような例がある。

・じゃんけんでグーを出したときに負けない確率。

相手が出す手はグー、チョキ、パーの3通り考えられるが、このうち負けないのはグーとチョキの2通りだから、求める確率は2/3となる。

・当たりが3本、はずれが4本入っているくじを引くときに当たりを引く確率。

当たりは全7本中3本あるのだから、求める確率は3/7となる。

ここで注意しなければいけないのは、すべての結果の起こる確率が等しい(同様に確からしい)といえないときには、このような計算はできないということである。例えば、明日地球に隕石が降ってくる確率を、起こる結果が「降ってくる」「降ってこない」の2通りだからといって、1/2とするのは間違いである。

このような,同様に確からしいといえないために確率が計算で求められないケースには、次のような例がある。

・上の図2のコインを投げたとき表が出る確率

求める確率は1/2より大きくなる。

・Aさんと弟と兄が徒競走をしたとき,Aさんがトップになる確率

3人の足の速さが同じとは限らないので,求める確率を1/3とするわけにはいかない。

また,十円玉を同時に2枚投げるときに、表裏の出方は、表が2枚、表と裏が1枚ずつ、裏が2枚の3通りあるが、だからといって、表と裏が1枚ずつ出る確率を1/3とするのは、有名な間違いである。正しく考えるときには、(表、表)、(表、裏)、(裏、表)、(裏、裏)の4つの場合で計算する。この4つの場合はすべて同様に確からしいといえるので、正しい確率は、2/4=1/2である。

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